Жесткость пружины. Чему равна жесткость пружины? Коэффициент жесткости пружины примеры

I. Жесткость пружины

Что такое жесткость пружины ?
Одним из важнейших параметров, относящимся к упругим изделиям из металла разного назначения, является жесткость пружины. Она подразумевает, насколько пружина будет устойчива к воздействию других тел и насколько сильно сопротивляется им при воздействии. Силе сопротивления равен коэффициент жесткости пружины.

На что влияет этот показатель?
Пружина – это достаточно упругое изделие, обеспечивающее передачу поступательных вращательных движений тем приборам и механизмам, в которых она находится. Надо сказать, что встретить пружину можно повсеместно, каждый третий механизм в доме оснащен пружиной, не говоря уже о количестве этих упругих элементов в приборах на производстве. При этом надежность функционирования этих приборов будет определяться степенью жесткости пружины. Эта величина, называемая коэффициентом жесткости пружины, зависит от усилия, которое нужно приложить, чтобы сжать или растянуть пружину. Распрямление пружины до исходного состояния определяется тем металлом, из которого она изготовлена, но не степенью жесткости.

От чего зависит данный показатель?
Такой простой элемент, как пружина, обладает массой разновидностей в зависимости от степени назначения. По способу передачи деформации механизму и форме выделяют спиральные, конические, цилиндрические и другие. Поэтому жесткость конкретного изделия определяется также и способом передачи деформации. Деформационная характеристика будет разделять пружинные изделия на пружины кручения, сжатия, изгиба и растяжения.

При использовании в приборе сразу двух пружин, степень их жесткости будет зависеть от способа крепления – при параллельном соединении в приборе жесткость пружин будет увеличиваться, а при последовательном – уменьшаться.

II. Коэффициент жесткости пружины

Коэффициент жесткости пружины и пружинных изделий – один из важнейших показателей, который определяет срок службы изделия. Для расчета коэффициента жесткости в ручную — существует несложная формула (см. рис. 1), а так же есть возможность воспользоваться нашим калькулятором пружин , который достаточно легко поможет произвести Вам все необходимые расчеты. Однако на срок эксплуатации всего механизма жесткость пружины будет влиять лишь косвенно – большее значение будут иметь другие качественные особенности прибора.

Рано или поздно при изучении курса физики ученики и студенты сталкиваются с задачами на силу упругости и закон Гука, в которых фигурирует коэффициент жесткости пружины. Что же это за величина, и как она связана с деформацией тел и законом Гука?

Для начала определим основные термины , которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация - это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д.), то деформация пластическая.

Примерами пластических деформаций являются:

• лепка из глины;
• погнутая алюминиевая ложка.

В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:

• резинка (можно растянуть ее, после чего она вернется в исходное состояние);
• пружина (после сжатия снова распрямляется).

В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:

где F - сила упругости, x - расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k - необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).

Определение коэффициента жесткости

Коэффициент жесткости (он также имеет названия коэффициента упругости или пропорциональности) чаще всего записывается буквой k, но иногда можно встретить обозначение D или c. Численно жесткость будет равна величине силы, которая растягивает пружину на единицу длины (в случае СИ - на 1 метр). Формула для нахождения коэффициента упругости выводится из частного случая закона Гука:

Чем больше величина жесткости, тем больше будет сопротивление тела к его деформации. Также коэффициент Гука показывает, насколько устойчиво тело к действию внешней нагрузки. Зависит этот параметр от геометрических параметров (диаметра проволоки, числа витков и диаметра намотки от оси проволоки) и от материала, из которого она изготовлена.

Единица измерения жесткости в СИ - Н/м.

Расчет жесткости системы

Встречаются более сложные задачи, в которых необходим расчет общей жесткости . В таких заданиях пружины соединены последовательно или параллельно.

Последовательное соединение системы пружин

При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:

1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,

где k - общая жесткость системы, k1, k2, …, ki - отдельные жесткости каждого элемента, i - общее количество всех пружин, задействованных в системе.

Параллельное соединение системы пружин

В случае когда пружины соединены параллельно , величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:

k = k1 + k2 + … + ki.

Измерение жесткости пружины опытным путем - в этом видео.

Вычисление коэффициента жесткости опытным методом

С помощью несложного опыта можно самостоятельно рассчитать, чему будет равен коэффициент Гука . Для проведения эксперимента понадобятся:

• линейка;
• пружина;
• груз с известной массой.

Последовательность действий для опыта такова:

1. Необходимо закрепить пружину вертикально, подвесив ее к любой удобной опоре. Нижний край должен остаться свободным.
2. При помощи линейки измеряется ее длина и записывается как величина x1.
3. На свободный конец нужно подвесить груз с известной массой m.
4. Длина пружины измеряется в нагруженном состоянии. Обозначается величиной x2.
5. Подсчитывается абсолютное удлинение: x = x2-x1. Для того чтобы получить результат в международной системе единиц, лучше сразу перевести его из сантиметров или миллиметров в метры.
6. Сила, которая вызвала деформацию, - это сила тяжести тела. Формула для ее расчета - F = mg, где m - это масса используемого в эксперименте груза (переводится в кг), а g - величина свободного ускорения, равная приблизительно 9,8.
7. После проведенных расчетов остается найти только сам коэффициент жесткости, формула которого была указана выше: k = F/x.

Примеры задач на нахождение жесткости

Задача 1

На пружину длиной 10 см действует сила F = 100 Н. Длина растянутой пружины составила 14 см. Найти коэффициент жесткости.

1. Рассчитываем длину абсолютного удлинения: x = 14-10 = 4 см = 0,04 м.
2. По формуле находим коэффициент жесткости: k = F/x = 100 / 0,04 = 2500 Н/м.

Ответ: жесткость пружины составит 2500 Н/м.

Задача 2

Груз массой 10 кг при подвешивании на пружину растянул ее на 4 см. Рассчитать, на какую длину растянет ее другой груз массой 25 кг.

1. Найдем силу тяжести, деформирующей пружину: F = mg = 10 · 9.8 = 98 Н.
2. Определим коэффициент упругости: k = F/x = 98 / 0.04 = 2450 Н/м.
3. Рассчитаем, с какой силой действует второй груз: F = mg = 25 · 9.8 = 245 Н.
4. По закону Гука запишем формулу для абсолютного удлинения: x = F/k.
5. Для второго случая подсчитаем длину растяжения: x = 245 / 2450 = 0,1 м.

Ответ: во втором случае пружина растянется на 10 см.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как определить жесткость пружины.

Мы уже неоднократно пользовались динамометром – прибором для измерения сил. Познакомимся теперь с законом, позволяющим измерять силы динамометром и обуславливающим равномерность его шкалы.

Известно, что под действием сил возникает деформация тел – изменение их формы и/или размеров . Например, из пластилина или глины можно вылепить предмет, форма и размеры которого будут сохраняться и после того, когда мы уберём руки. Такую деформацию называют пластической. Однако, если наши руки деформируют пружину, то когда мы их уберём, возможны два варианта: пружина полностью восстановит форму и размеры или же пружина сохранит остаточную деформацию.

Если тело восстанавливает форму и/или размеры, которые были до деформации, то деформация упругая . Возникающая при этом в теле сила – это сила упругости, подчиняющаяся закону Гука :

Поскольку удлинение тела входит в закон Гука по модулю, этот закон будет справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел.

Опыты показывают: если удлинение тела мало по сравнению с его длиной, то деформация всегда упругая; если удлинение тела велико по сравнению с его длиной, то деформация, как правило, будет пластической или даже разрушающей . Однако, некоторые тела, например, резинки и пружины деформируются упруго даже при значительных изменениях их длины. На рисунке показано более чем двухкратное удлинение пружины динамометра.

Для выяснения физического смысла коэффициента жёсткости, выразим его из формулы закона. Получим отношение модуля силы упругости к модулю удлинения тела. Вспомним: любое отношение показывает, сколько единиц величины числителя приходится на единицу величины знаменателя. Поэтому коэффициент жёсткости показывает силу, возникающую в упруго деформированном теле при изменении его длины на 1 м.

1. Динамометр является...
2. Благодаря закону Гука в динамометре наблюдается...
3. Явлением деформации тел называют...
4. Пластически деформированным мы назовём тело, ...
5. В зависимости от модуля и/или направления приложенной к пружине силы, ...
6. Деформацию называют упругой и считают подчиняющейся закону Гука, ...
7. Закон Гука носит скалярный характер, так как с его помощью можно определить только...
8. Закон Гука справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел, ...
9. Наблюдения и опыты по деформации различных тел показывают, что...
10. Ещё со времени детских игр мы хорошо знаем, что...
11. По сравнению с нулевым штрихом шкалы, то есть недеформированным начальным состоянием, справа...
12. Чтобы понять физический смысл коэффициента жёсткости, ...
13. В результате выражения величины «k» мы...
14. Ещё из математики начальной школы мы знаем, что...
15. Физический смысл коэффициента жёсткости состоит в том, что он...

Пружины это элемент упругий, посредством которого механизмам передается вращательное движение, ими комплектуются практически все механизмы. Надежность данного изделия, и ее служба зависят от такого понятия как жесткость пружины . Именно от жесткости зависит насколько надежным будет работа механизма в различных эксплуатационных условиях. «» определяется необходимым для ее сжатия усилием. Расправка пружины это несколько иной вопрос, который находится в прямой зависимости от материла, из которого пружина выполнена. Кстати, не всегда высокая жесткость пружины, обуславливает ее долгую службу. Скорее это зависит от механизма, который пружина приводит в действие.

Виды жёсткости:

Пружины, по своим разновидностям делятся на типы. Каждый тип, применяется в определенных механизмах. В целом востребованы пружины спиральные, рессоры, конические, пружины тарельчатые и цилиндрические. «Жесткость пружины» определяет и тот фактор, как она передает механизму собственную деформацию. Так, пружины имеют еще одну важнейшую характеристику, деформационную, которая делит пружины на , и конечно .
разнообразного сечения. Так, получают пружины, которыми затем комплектуются различные разновидности оборудования, механизмов, автомобилей.

Как высчитать коэффициент жесткости пружины?

При производстве пружин, обязательно принимается в расчеты коэффициент жесткости, который собственно и служит показателем продолжительности службы изделия. «» вычисляется в соответствии с расчетной формулой.
Так, например, если взять стандартную цилиндрическую витую пружину изготовленную из обычной цилиндрической проволоки, то коэффициент можно высчитать посредством следующей формулы:

В формуле за обозначение G следует принять модуль сдвига. Если пружина медная, то он будет равен примерно 45 ГПа, а если просто стальная, то модуль будет равняться примерно 80 ГПа. Буквой n обозначено число витков, которое имеет пружина, а dF это диаметр намотки. Остается обозначение dD, но оно только обозначает диаметр проволоки, из которой пружина и изготовлена. Собственно, арифметика довольно проста, если только выполнить соответствующие замеры, и вместо видимых букв и значений подставить цифровые эквиваленты.

Максимальная сила сжатия или растяжения пружины не зависит от количества рабочих витков! Это означает, что если взять, например, цилиндрическую пружину сжатия, а затем разрезать её на две неравные по высоте части, то максимальное усилие при полном сжатии...

Обеих образовавшихся пружин будет одинаковым. Более того – максимальная сила останется такой же, как у исходной пружины!

В чем же тогда различие между тремя рассмотренными выше пружинами? Ответ на этот вопрос – в высотных размерах и жесткостях.

Меньшая пружина самая жесткая. У нее самый малый ход от свободного состояния до полного сжатия. Исходная пружина (до разделения) – самая мягкая. У нее самый большой ход.

Жесткость пружины (C ) является ключевым параметром, определяющим силу сжатия или растяжения (F i ) при определенной величине деформации (L 0 — L i ):

F i = C * (L 0 — L i )

В свою очередь сама жесткость пружины (C ) зависит только от жесткости одного витка (C 1 ) и числа рабочих витков (N ):

C = C 1 / N

Обратите внимание – жесткость одного витка всегда больше жесткости всей пружины! Причем, чем больше в пружине витков, тем она мягче.

Расчет в Excel жесткости витка пружины.

Жесткость витка пружины – это «краеугольный камень в фундаменте» расчетов, зависящий лишь от модуля сдвига материала, из которого пружина навита и её геометрических размеров.

C 1 = G * X 4 /(Y *(D 1 — B ) 3 )

В этой формуле:

G – модуль сдвига материала проволоки

Для пружинной стали:

G ≈78500 МПа ±10%

Для пружинной бронзы:

G ≈45000 МПа ±10%

X – минимальный размер сечения проволоки

Для круглой проволоки – это её диаметр:

X = D

Для прямоугольной проволоки:

X = H при H < B

X = B при B < H

H – высота сечения проволоки в направлении параллельном оси навивки пружины

B – ширина сечения проволоки в направлении перпендикулярном оси навивки пружины

Для круглой проволоки:

H = B = D

D 1 — наружный диаметр пружины

(D 1 — B ) – средний диаметр пружины

Y – параметр жесткости сечения проволоки

Для круглой проволоки:

Y = 8

Для прямоугольной проволоки:

Y = f (H / B )

Что это за функция — f (H / B ) ? В литературе она всегда задана в виде таблицы, что не всегда удобно, особенно для промежуточных значений H / B , которых попросту нет.

Выполним в MS Excel табличных данных в первых двух столбцах аналитическими функциями, разбив для повышения точности табличные значения на три группы.

На графиках, представленных ниже, Excel нашел три уравнения для определения параметра Y при различных значениях аргумента — отношения высоты проволоки к ширине - H / B . Красные точки – это заданные значения из таблицы (столбец №2), черные линии – это графики найденных аппроксимирующих функций. Уравнения этих функций Excel вывел непосредственно на поля графиков.

В таблице в столбце №3 размещены посчитанные по полученным формулам значения параметра жесткости сечения проволоки Y , а в столбцах №4 и №5 — абсолютные Δ абс и относительные Δ отн погрешности аппроксимации.

Как видно из таблицы и графиков полученные уравнения весьма точно замещают табличные данные! Величина достоверности аппроксимации R 2 очень близка к 1 и относительная погрешность не превышает 2,7%!

Применим на практике полученные результаты.

Расчет пружины сжатия из проволоки прямоугольного сечения.

Жесткость пружины из проволоки или прутка прямоугольного сечения при тех же габаритах, что и из круглой проволоки может быть гораздо больше. Соответственно и сила сжатия пружины может быть больше.

Представленная ниже программа является переработанной версией , подробное описание которой вы найдете, перейдя по ссылке. Прочтите эту статью, и вам проще будет разобраться в алгоритме.

Основным отличием в расчете, как вы уже догадались, является определение жесткости витка (C 1 ) , задающей жесткость пружины (C ) в целом.

Далее представлены скриншот программы и формулы для цилиндрической стальной пружины из прямоугольной проволоки, у которой поджаты по ¾ витка с каждого конца и опорные поверхности отшлифованы на ¾ длины окружности.

Внимание!!!

После выполнения расчета по программе выполняйте проверку касательных напряжений!!!

4. I =(D 1 / B ) -1

5. При 1/3: Y =5,3942*(H / B ) 2 -0,3572*(H /B )+0,5272

При 1: Y =5,4962*(H / B ) (-1.715)

При 2< H / B <6 : Y =3 ,9286 *(H / B ) (-1. 2339 )

6. При H < B : C 1 =(78500* H 4 )/(Y * (D 1 — B ) 3)

При H > B : C 1 =(78500* B 4 )/(Y * (D 1 — B ) 3)

8. T nom =1,25*(F 2 / C 1 )+H

9. T max =π*(D 1 — B )*tg (10 ° )

11. S 3 = T — H

12. F 3 = C 1 * S 3

14. N расч =(L 2 — H )/(H +F 3 / C 1 — F 2 / C 1 )

16. C = C 1 / N

17. L 0 = N * T + H

18. L 3 = N * H + H

19. F 2 = C * L 0 — C * L 2

21. F 1 = C * L 0 — C * L 1

22. N 1 = N +1,5

23. A =arctg (T /(π *(D 1 — H )))

24. L разв =π* N 1 *(D 1 — H )/cos (A )

25. Q =H *B * L разв *7,85/10 6

Заключение.

Значение модуля сдвига (G ) материала проволоки в существенной мере влияющее на жесткость пружины (C ) в реальности колеблется от номинально принятого до ±10%. Это обстоятельство и определяет в первую очередь наряду с геометрической точностью изготовления пружины «правильность» расчетов усилий и соответствующих им перемещений.

Почему в расчетах не используются механические характеристики (допускаемые напряжения) материала проволоки кроме модуля упругости? Дело в том, что, задаваясь углом подъема витка и индексом пружины в ограниченных диапазонах значений, и придерживаясь правила: «угол подъема в градусах близок значению индекса пружины», мы фактически исключаем возможность возникновения касательных напряжений при эксплуатации превышающих критические величины. Поэтому проверочный расчет пружин на прочность имеет смысл производить лишь при разработке пружин для серийного производства в особо ответственных узлах. Но при таких условиях кроме расчетов всегда неизбежны серьезные испытания…

Напишите пару строк в комментариях - мне всегда интересно ваше мнение.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

ОСТАЛЬНЫМ можно скачать просто так... - никаких паролей нет!